CRECIMIENTO EXPONENCIAL
El crecimiento exponencial o geométrico transcurre si el índice de crecimiento propio de una función es correspondiente al presente valor de dicha función, por esta razón se llama formalmente, ley exponencial. El relacionamiento entre el tamaño de la variable dependiente con el tamaño del índice de crecimiento es establecido por razón de la ley de proporción directa. Teniendo en cuenta lo anterior, se puede sacar la conclusión de que si una magnitud M posee la variación en el tiempo de forma proporcional a su valor, estará implicando un crecimiento vertiginoso en el tiempo, lo cual correspondería a la siguiente ecuación:
M: corresponde valor de la
extensión en el instante t > 0;
M0: corresponde al valor del inicio de la variable, valor en t = 0, si procedemos a tomar mediciones;
r: corresponde a lo que sería la tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento que ocurre en el transcurso entre t = 0 y t > 0
e = 2,718281828459…Se hace referencia entonces al crecimiento de una función exponencial (La función exponencial, es lo que conocemos por función real e elevado a la potencia de x, e es correspondiente al número de Euler)
Es posible desarrollar el crecimiento exponencial
si se toma en la última ecuación a = 2 y x un entero. Si por
ejemplo x = 4, entonces y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 e y = 1.024,
esto sigue continuamente.
Ecuaciones diferenciales
Como ya hemos visto, el crecimiento es exponencial
si ocurre que el crecimiento de la función en un punto determinado es
correspondiente al valor de la función en dicho punto. Podemos expresar lo
anterior por medio de una ecuación diferencial de primer orden. Este tipo de
ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria dónde se encuentran
derivadas de primer orden en proporción a una variable independiente, veamos:
M0 corresponde al valor de inicio de la magnitud,
de la cual se estudia el crecimiento exponencial ( t = 0). Cualquiera
sea el instante de tiempo ulterior en esta ecuación tendremos como resultado
que:
Para t > 0 podemos ver que,
Siempre y cuando el crecimiento sea de forma
positiva r > 0
El patrón de crecimiento de Malthus, (a
veces se denomina exponencial simple) es basicamente un modelo o patrón del
crecimiento exponencial que corresponde a un índice constante de interés
compuesto. El modelo de Malthus se denomina en general “El modelo de
Malthusiano” en honor el demógrafo y economista político británico, Thomas Robert
Malthus . En su importante ensayo llamado “Ensayo sobre los principios de la
población” afirmó que el crecimiento de la población algún día llegaría a
sobrepasar la oferta alimenticia en el año 1798, lo cual tuvo gran influencia
en la política. Afortunadamente la predicción de Malthus no se cumplió, ya que
el avance de las industrias elevaron la elaboración de productos alimenticios
en naciones con buena economía y también se fue reduciendo en estas naciones la
tasa de fertilidad.
TIPO DE CRECIMIENTO
La base de la potencia que representa un crecimiento exponencial se
asocia con el tipo de crecimiento.
- · Si la base es dos el crecimiento es de duplicado
- · Si la base es tres el crecimiento es de triplicado
EJEMPLO
En un tuvo de ensayo se introduce una bacteria que se divide en tres
cada minuto ¿Cuánto tiempo pasara hasta que el tubo tenga 80 bacterias?
Como la bacteria se divide en 3 el crecimiento será triplicado, la
potencia que lo representa tendrá base 3
Tiempo
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Numero de bacterias
|
30=1
|
31=3
|
32=9
|
33=27
|
34=81
|
MODELO DE CRECIMIENTO EXPONENCIAL EN RELACIÓN
CON LA
DINÁMICA DE LA POBLACIÓN
Como hemos de saber, el tamaño de las poblaciones de seres vivos
se suele Mantener en equilibrio,
oscilando más o menos ampliamente en torno a un Valor medio, en función de
variables conocidas como la natalidad o la mortalidad, que a su vez dependen,
como es de imaginar, de relaciones más
complejas con otras poblaciones de otras especies, variaciones en las
condiciones ambientales, etc. 2 El
crecimiento de una población, es decir el incremento en el número de individuos
que la componen en cada una de las
generaciones, depende como factor importante, de la tasa de natalidad, que
es característica de cada especie y es
variable en función de ciertos factores ambientales, y del número de individuos
reproductores de que se parte.
Esta tasa de natalidad TN se
expresa en tanto por uno. Según esta aproximación tan simple, en una
generación el número inicial de individuos N0se verá incrementado en N0•TN:
N1 = N0 + N0•TN = N0•(1 + TN) _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _
Al mismo tiempo, nos damos cuenta que ocurre un hecho completamente contrario, el cual genera que
cierto número de individuos mueran. La proporción de muertes respecto al total
es la tasa de mortalidad TM. Luego:
N1 = N0•(1 + TN - TM) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
_
La acción conjunta de TN y TM determinan el incremento real de
N0. La diferencia entre TN y TM es la
tasa intrínseca de crecimiento de una población, cuyo valor máximo se denomina como
potencial biótico (r), el cual es característico de cada especie:
r = TN – TM
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _
Teniendo en cuenta ambos factores, tenemos que el número de individuos
presentes en la población en la siguiente generación será:
N1 = N0•(1 + r)
_ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ __ _
_ _ _ _ _ _ _ _
Y en la siguiente generación
tendremos:
N2 = N1 (1 + r) = N0 (1 + r) (1 + r) = N0 (1 +
r)2 _ _ _ _ _ _ _ _ _
Y generalizando:
Nt = N0 (1 + r)t
_ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Si TN > TM, significa que la natalidad supera a la mortalidad con
la cual se está dando, en este caso, r
será mayor que 0 y la población, en consecuencia lógica tiende a crecer.
En estas condiciones y si no existen limitaciones de otro tipo, la
población crece de manera exponencial.
Un ejemplo para tratar de imaginar lo
explicado, es el siguiente el cual muestra este tipo de crecimiento
partiendo de N0 = 6 y r = 0,1, o sea una tasa del 10%. Hay que tener muy en cuenta que este tipo de
crecimiento sólo es posible en circunstancias muy específicas. Por ejemplo cuando una especie coloniza un
nuevo espacio y no hay restricciones en los recursos ni competencia por ellos,
es decir, se proporcionan demasiadas facilidades que suelen ser e4scasas en un
modelo mas real, tal es el caso de como ocurre
en un cultivo bacteriano recién inoculado durante los primeros momentos de su
crecimiento.
Algunas especies siguen este modelo
de crecimiento siguiendo ciclos de explosión demográfica seguidos por
elevados índices de mortalidad, por ejemplo al comienzo de la estación reproductora. Presentan curvas de crecimiento
en forma de dientes de sierra
Al potencial biótico, como capacidad de una especie para reproducirse
en condiciones ideales, se oponen una serie de factores que, en conjunto, constituyen
la resistencia ambiental, la cual establece un límite al crecimiento de las
poblaciones.
En especies con un comportamiento como el descrito estos factores
suelen ser independientes de la densidad
de población, como variaciones climáticas, en la cantidad de alimento disponible,
tiempo de vida, riesgo natural de la especie, entre otras.
La tasa de natalidad es primero muy elevada y luego va siendo menor
hasta igualarse a la de mortalidad cuando la población alcanza el límite de
carga.
Por encima de éste, la tasa de mortalidad supera la de natalidad e
impide que la población continúe creciendo.
Sin embargo, nos encontramos con
4que es frecuente que tras un período de crecimiento rápido este
ajuste tarde en ocurrir lo suficiente como para
que la población supere el nivel K de forma momentánea, tras lo cual se
produce una elevada mortalidad y por tanto, una visible caída de la población.
Y puede, ocurrir en este caso, que el
valor de N oscile en torno a K hasta alcanzar el equilibrio:
EJERCICIOS DETALLADOS DE CRECIMIENTO
1.- El número
de bacterias en un cultivo aumenta 20% por minuto. Es decir la tasa de
crecimiento de la población de bacterias es constante si inicialmente hay 1000
bacterias ¿Cuántas habrá luego de 3 minutos?
Después
de un minuto el número de bacterias será 1000 más el 20% de 1000
ENTONCES:
1000 +
(20/100)= 1000+200=1200
Habrá
1200 bacterias al cabo de un minuto
1200 +
(20/100)= 1200+240=1440
Habrá
1440 bacterias al cabo de dos minuto
1440 +
(20/100)= 14400+288=1628
Habrá
1628 bacterias al cabo de tres minuto
Si A es el número de bacterias y r, la tasa de
crecimiento por minuto entonces en el primer minuto habrá A + r A bacterias. En el segundo minuto el número de
bacterias será lo que había al término del primer minuto (A+ r A) más el
crecimiento correspondiente [r (A+ r A)] entonces:
A+r A +r(A+r A)= A+2Ar +Ar2= A(1+2r+r2)=A(1+r)2es
el número de bacterias al final del segundo minuto y A(1+r)3 al final del tercer
minuto.
Para lo cual podemos utilizar la siguiente tabla
en n minutos
Tiempo
|
0
|
1
|
2
|
3
|
n
|
# de bacterias
|
A
|
A(1+r)
|
A(1+r)2
|
A(1+r)3
|
A(1+r)n
|
Por lo tanto si queremos saber cuántas bacterias
habrá a los 5 minutos será:
A(1+r)5 =1000(1+ 20/100)5
=1000+(1.2)5
=2.488.32
2.- La población de Perú expresada en
millones de habitantes crece exponencialmente a razón de 2.5% por año. Si en el
2000 había 105 millones de habitantes.
a) Plantea una fórmula para la población como función del tiempo
b) Utiliza la fórmula para determinar la población en 15 años
c) En qué año la población seria de 125 millones de habitantes?
Si llamamos t al número de años transcurridos
desde el año 2000 tenemos lo siguiente:
para t = 0 (año 2000) el número de habitantes (n) es n(0) = 105
Para t = 1 (año 2001) n (1) = 105 +105*0,025 = 105(1+0,025)
Para t = 2; n (2) = 105 (1+0,025) + 105(1+0,025)*0,025 = 105 (1+0,025) (1+0,025) = 105 (1+0,025)²
para t = 0 (año 2000) el número de habitantes (n) es n(0) = 105
Para t = 1 (año 2001) n (1) = 105 +105*0,025 = 105(1+0,025)
Para t = 2; n (2) = 105 (1+0,025) + 105(1+0,025)*0,025 = 105 (1+0,025) (1+0,025) = 105 (1+0,025)²
Esto se puede generalizar:
a) n (t) = 105* (1+0,025)t = 105 *1,025t
b) n(15) = 105 * 1,025¹⁵ = 152 071
c) 125 = 105 * 1,025x, x = 7,06
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ESTA CHEVERE
ResponderEliminarMNTR HASTA EL CULO TU INVESTIGACION
ResponderEliminarYO SOY ALUMNO IB
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