COVARIANZA

CORRELACION Y COVARIANZA

El concepto de relación en estadística coincide con lo que se entiende por relación en el lenguaje habitual: dos variables están relacionadas si varían conjuntamente. Si los sujetos tienen valores, altos o bajos, simultáneamente en dos variables, tenemos una relación positiva. Por ejemplo peso y altura en una muestra de niños de 5 a 12 años: los mayores en edad son también los más altos y pesan más, y los más jóvenes son los que pesan menos y son más bajos de estatura; decimos que peso y altura son dos variables que están relacionadas porque los más altos pesan más y los más bajos pesan menos.
Si los valores altos en una variable coinciden con valores bajos en otra variable, tenemos una relación negativa; por ejemplo edad y fuerza física en una muestra de adultos de 30 a 80 años de edad: los mayores en edad son los menores en fuerza física; hay una relación, que puede ser muy grande, pero negativa: según los sujetos aumentan en una variable (edad) disminuyen en la otra (fuerza física). La correlación se define por lo tanto por la co-variación (co = con, juntamente: variar a la vez).
Correlación y covarianza son términos conceptualmente equivalentes, expresan lo mismo. La covarianza es también una medida de relación, lo mismo que el coeficiente de correlación. Habitualmente se utiliza el coeficiente de correlación (r de Pearson), pero es útil entender simultáneamente qué es la covarianza, y entenderlo precisamente en este contexto, el de las medidas de relación.

COVARIANZA EN EXCEL

COVARIANZA.M (función COVARIANZA.M)

Devuelve la covarianza de la muestra, o promedio de los productos de las desviaciones para cada pareja de puntos de datos en dos conjuntos de datos.

Sintaxis

COVARIANZA.M(matriz1;matriz2)

La sintaxis de la función COVARIANZA.M tiene los siguientes argumentos:

• Matriz1     Obligatorio. El primer rango de celdas de números enteros.
• Matriz2     Obligatorio. El segundo rango de celdas de números enteros.

Observaciones

• Los argumentos deben ser números o nombres, matrices o referencias que contengan números.
• Si un argumento de matriz o referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, esos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluyen las celdas que tengan el valor cero.
• Si los argumentos matriz1 y matriz2 tienen números distintos de puntos de datos, COVARIANZA.M devuelve el valor de error #N/A.
• Si cualquiera de los argumentos matriz1 o matriz2 está vacío o si contienen solamente un punto de datos cada uno, COVARIANZA.M devuelve el valor de error #¡DIV/0!.  

COVARIANCE.P (función COVARIANCE.P)

Devuelve la covarianza de la población, el promedio de los productos de las desviaciones para cada pareja de puntos de datos en dos conjuntos de datos.

Utilice la covarianza para determinar las relaciones entre dos conjuntos de datos. Por ejemplo, puede investigar si unos ingresos más elevados se corresponden con niveles de estudios más altos.

Sintaxis

COVARIANCE.P(matriz1;matriz2)

La sintaxis de la función COVARIANCE.P tiene los siguientes argumentos:

• Matriz1     Obligatorio. El primer rango de celdas de números enteros.
• Matriz2     Obligatorio. El segundo rango de celdas de números enteros.

Observaciones

• Los argumentos deben ser números o nombres, matrices o referencias que contengan números.
• Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor cero.
• Si los argumentos matriz1 y matriz2 tienen números distintos de puntos de datos, COVARIANCE.P devuelve el valor de error #N/A.
• Si los argumentos matriz1 o matriz2 están vacíos, COVARIANCE.P devuelve el valor de error #¡DIV/0!.
• La covarianza es:

donde x e y son las medias de muestra PROMEDIO(matriz1) y PROMEDIO(matriz2) y n es el tamaño de la muestra.

DIFERENCIA ENTRE CORRELACION, COVARIANZA Y VARIANZA:

• La correlación indica la fuerza y dirección de la asociación entre dos variables aleatorias en forma de relación lineal. Dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían con respecto a los valores de la otra

• La covarianza es una medida de la variación común a dos variables y, por tanto, una medida del grado y tipo de su relación.

• El análisis de varianza sirve para comparar si los valores de un grupos de datos son diferentes significativamente a los valores de otro u otros grupos de datos.

COVARIANZA (Definicion):

Una medida del grado en que dos variables aleatorias se mueven en la misma direccion o en direcciones opuestas la una respecto a la otra. En otras palabras, si dos variables aleatorias generalmente se mueven en la misma direccion se dirá que tienen una covarianza positiva. Si tienden a moverse en direcciones opuestas, se dirá que tienen una covarianza negativa. La covarianza se mide como el valor que se espera de los productos de las desviaciones de dos variables aleatorias respecto a sus correspondientes medias. Una varianza es un caso especial de covarianza.

FORMULAS:  

La formula suele aparecer expresada como:

La expresión se resuelve promediando el producto de las puntuaciones diferenciales por su tamaño muestral (n pares de puntuaciones, n-1 en su forma insesgada). 

Dadas dos variables estadísticas x e y definiremos la covarianza Sxy como:

                 

en el caso de disponer de la distribución agregada por frecuencias en una tabla de correlación.

                       

en el caso de disponer de la distribución sin agregar por frecuencias (en un listado matricial de datos donde cada registro es una observación y nº de registros= N)

INTERPRETACION DE LA COVARIANZA: 

• Si Qxy > 0 hay dependencia directa (positiva), es decir a grandes valores de X corresponden grandes valores de Y.
• Si Qxy = 0 Una covarianza (0) se interpreta como la no existencia de una relacion lineal entre las dos variables estudiadas.
• Si Qxy < 0 hay dependenciainversa o negativa es decir, a grandes valores de X corresponden pequeños valores de Y 

 PROPIEDADES:

•  La covarianza es el momento central de orden 1,1 de la distribución bidimensional.

•  Es invariante ante los cambios de origen en cualquiera de las dos variables.

• Sin embargo depende de los cambios de unidad .Si se cambia de unidad de medida en ambas variables la covarianza se modifica proporcionalmente a ambos cambios:

                            u= a+bx     v = c + dy     S_uv = b.d.S_xy

• La expresión de cálculo de la covarianza es   

donde a₁₁ es el llamado momento ordinario mixto y su expresión es:

    

   si las observaciones están agregadas por frecuencias , o bien:

         si las observaciones no están agregadas por frecuencias

• Si dos variables son independientes su covarianza es cero (el resultado recíproco no es necesariamente cierto).

• La covarianza nos mide la covariación conjunta de dos variables: Si es positiva nos dará la información de que a valores altos de una de las variable hay una mayor tendencia a encontrar valores altos de la otra variable y a valores bajos de una de las variable ,correspondientemente valores bajos.En cambio si la covarianza es negativa, la covariación de ambas variables será en sentido inverso: a valores altos le corresponderán bajos, y a valores bajos, altos.Si la covarianza es cero no hay una covariación clara en ninguno de los dos sentidos.Sin embargo el hecho de que la covarianza dependa de las medidas de las variables no permite establecer comparaciones entre unos casos y otros.

EJEMPLOS: 

1.- Cinco niños de 2, 3, 5, 7 y 8 años de edad pesan, respectivamente, 14, 20, 32, 42 y 44 kilos. 

Hallar la covarianza.

xi	yi	xi ·yi	xi2	yi2
2	14	4	196	28
3	20	9	400	60
5	32	25	1 024	160
7	42	49	1 764	294
8	44	64	1 936	352
25	152	151	5 320	894

• X= 25/5=5      
• Y=152/5=30.4
• Qx²=151/5-5²
• Qy²=5320/2-30.4²=139.84
• Qxy=894/6-5*30*4=26.8

2.- Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedican diariamente a dormir y ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siente tabla:

Nº de horas dormidas (X)	6	7	8	9	10
Nº de horas de televisión (Y)	4	3	3	2	1
Frecuencias absolutas (fi)	3	16	20	10	1

Calcular la covarianza

xi	yi	fi	xi · fi	xi2 · fi	yi · fi	yi2 · fi	xi · yi · fi
6	4	3	18	108	12	48	72
7	3	16	112	784	48	144	336
8	3	20	160	1280	60	180	480
9	2	10	90	810	20	40	180
10	1	1	10	100	1	1	10
		50	390	3082	141	413	1078

• X=390/4=7.8  
• Y=141/50=2.82
• Qx²=3082/50-7.8²=0.8
• Qy²=413/50-2.82²=0.3076
• Qx=√0.8=0.89
• Qy=√0.3076=0.55
• Qxy=1078/50-7*8*2*82=-0.436

3.-  Calcula la covarianza de las variables estadísticas X, Y dadas por la tabla de valores: 

X 4 5 6 7 8 9 10 11 y 1.4 1.3 1.4 1.5 1.5 1.6 1.6 1.7

Debemos calcular las medias de X y de Y, y calcular los productos X_i·Y_i. Los resultados que se obtienen son: 

Enlaces

http://www.upcomillas.es/personal/peter/estadisticabasica/correlacion.pdf
http://es.wikipedia.org/wiki/coeficiente_de_correlacion
htttp://vadenumeros.es/sociales
http://www.uv.es/ceaces/base/descriptiva/covarianza.htm
http://www.economia48.com/spa/d/covarianza/covarianza.htm