PRESENTACION

 ESTADISTICA EN EXCEL 
Y 
CALCULO DIFERENCIAL

AUTORES:

• ROBERT CHAVARRIA
• WILMER BARRAGAN
• VALERIA MONTENEGRO 

TEMAS:

   ESTADISTICA

•     CUARTIL
•     CRECIMIENTO
•     COVARIANZA

DIRIGIDO POR:

IVES TORRIENTES

CUARTIL

CUANTILES: CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

Son medidas de localización similares a las anteriores. Se las denomina CUANTILES (Q). Su función es informar del valor de la variable que ocupará la posición (en tanto por cien) que nos interese respecto de todo el conjunto de variables.

Podemos decir que los Cuantiles son unas medidas de posición que dividen a la distribución en un cierto número de partes de manera que en cada una de ellas hay el mismo de valores de la variable.

Las más importantes son:

CUARTILES

 Los cuartiles dividen en cuatro partes las observaciones. El primer cuartil Q1 es un valor que deje por debajo de él 25% de las y por encima 75% de las observaciones. El Q2 es la mediana (50%) y Q3 deja por debajo 75% y por encima 25% de las observaciones

 

CUARTILES EN EXCEL

CUARTIL.EXC (función CUARTIL.EXC)

Devuelve el cuartil del conjunto de datos, según los valores de porcentil de 0 a 1, ambos no incluidos.

Sintaxis

CUARTIL.EXC(matriz; cuartil)

La sintaxis de la función CUARTIL.EXC tiene los siguientes argumentos:

• Matriz     Obligatorio. La matriz o el intervalo de celdas de valores numéricos cuyo cuartil desea obtener.
• Cuartil     Obligatorio. Indica el valor que se devolverá.

Observaciones

• Si el argumento matriz está vacío, CUARTIL.EXC devuelve el valor de error #¡NUM!.
• Si el argumento cuartil no es un número entero, se trunca.
• Si el argumento cuartil es ≤ 0 o si el argumento cuartil es ≥ 4, CUARTIL.EXC devuelve el valor de error #¡NUM!.
• Las funciones MIN, MEDIANA y MAX devuelven el mismo valor que CUARTIL.EXE cuando el argumento cuartil es igual a 0 (cero), 2 y 4 respectivamente.

CUARTIL.INC (función CUARTIL.INC)

Devuelve el cuartil de un conjunto de datos, según los valores de porcentil de 0 a 1, ambos incluidos.

Los cuartiles se usan con frecuencia en los datos de ventas y encuestas para dividir las poblaciones en grupos. Por ejemplo, puede usar la función CUARTIL.INC para determinar el 25 por ciento de ingresos más altos en una población.

Sintaxis

CUARTIL.INC(matriz;cuartil)

La sintaxis de la función CUARTIL.INC tiene los siguientes argumentos:

• Matriz     Obligatorio. La matriz o el rango de celdas de valores numéricos cuyo cuartil desea obtener.
• Cuartil     Obligatorio. Indica el valor que se devolverá.

Parámetros

Si cuartil es igual a	La función CUARTIL.INC devuelve
0	Valor mínimo
1	El primer cuartil (percentil 25)
2	El valor de la mediana (percentil 50)
3	El tercer cuartil (percentil 75)
4	Valor máximo

Observaciones

• Si el argumento matriz esta vacío, CUARTIL.INC devuelve el valor de error #¡NUM!
• Si el argumento cuartil no es un número entero, se trunca.
• Si cuartil < 0 o si cuartil > 4, CUARTIL.INC devuelve el valor de error #¡NUM!
• Las funciones MIN, MEDIANA y MAX devuelven el mismo valor que CUARTIL.INC cuando el argumento cuartil es igual a 0 (cero), 2 y 4 respectivamente.

Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Ejercicio de cuartiles

Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

	fi	Fi
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del segundo cuartil

Cálculo del tercer cuartil

Deciles

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D₅ coincide con la mediana.

Cálculo de los deciles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Ejercicio de deciles

Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

	fi	Fi
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Cálculo del primer decil

Cálculo del segundo decil

Cálculo del tercer decil

Cálculo del cuarto decil

Cálculo del quinto decil

Cálculo del sexto decil

Cálculo del séptimo decil

Cálculo del octavo decil

Cálculo del noveno decil

Percentiles

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

P₅₀ coincide con la mediana.

Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra , en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Ejercicio de percentiles

Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:

	fi	Fi
[50, 60)	8	8
[60, 70)	10	18
[70, 80)	16	34
[80, 90)	14	48
[90, 100)	10	58
[100, 110)	5	63
[110, 120)	2	65
	65

Percentil 35

Percentil 60

Enlaces


http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/full/q/quartile.htm

dieumsnh.qfb.umich.mx/estadistica/cuartil.htm

www.economia.unam.mx/profesor/barajas/estadis/parte2.pdf

 

CRECIMIENTO

                          CRECIMIENTO EXPONENCIAL

El crecimiento exponencial o geométrico transcurre si el índice de crecimiento propio de una función es correspondiente al presente valor de dicha función, por esta razón se llama formalmente, ley exponencial. El relacionamiento entre el tamaño de la variable dependiente con el tamaño del índice de crecimiento es establecido por razón de la ley de proporción directa. Teniendo en cuenta lo anterior, se puede sacar la conclusión de que si una magnitud M posee la variación en el tiempo de forma proporcional a su valor, estará implicando un crecimiento vertiginoso en el tiempo, lo cual correspondería a la siguiente ecuación:

M: corresponde valor de la extensión en el instante t > 0;

M0: corresponde al valor del inicio de la variable, valor en t = 0, si procedemos a tomar mediciones;

r: corresponde a lo que sería la tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento que ocurre en el transcurso entre t = 0 y t > 0

 
e = 2,718281828459…Se hace referencia entonces al crecimiento de una función exponencial (La función exponencial, es lo que conocemos por función real e elevado a la potencia de x, e es correspondiente al número de Euler) 

Es posible desarrollar el crecimiento exponencial si se toma en la última ecuación a = 2 y x un entero. Si por ejemplo x = 4, entonces y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 e y = 1.024, esto sigue continuamente.

Ecuaciones diferenciales

Como ya hemos visto, el crecimiento es exponencial si ocurre que el crecimiento de la función en un punto determinado es correspondiente al valor de la función en dicho punto. Podemos expresar lo anterior por medio de una ecuación diferencial de primer orden. Este tipo de ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria dónde se encuentran derivadas de primer orden en proporción a una variable independiente, veamos:

M0 corresponde al valor de inicio de la magnitud, de la cual se estudia el crecimiento exponencial ( t = 0). Cualquiera sea el instante de tiempo ulterior en esta ecuación tendremos como resultado que:

Para t > 0 podemos ver que,

Siempre y cuando el crecimiento sea de forma positiva r > 0

El patrón de crecimiento de Malthus, (a veces se denomina exponencial simple) es basicamente un modelo o patrón del crecimiento exponencial que corresponde a un índice constante de interés compuesto. El modelo de Malthus se denomina en general “El modelo de Malthusiano” en honor el demógrafo y economista político británico, Thomas Robert Malthus . En su importante ensayo llamado “Ensayo sobre los principios de la población” afirmó que el crecimiento de la población algún día llegaría a sobrepasar la oferta alimenticia en el año 1798, lo cual tuvo gran influencia en la política. Afortunadamente la predicción de Malthus no se cumplió, ya que el avance de las industrias elevaron la elaboración de productos alimenticios en naciones con buena economía y también se fue reduciendo en estas naciones la tasa de fertilidad.

TIPO DE CRECIMIENTO

La base de la potencia que representa un crecimiento exponencial se asocia con el tipo de crecimiento.

• ·         Si la base es dos el crecimiento es de duplicado
• ·         Si la base es tres el crecimiento es de triplicado

EJEMPLO

En un tuvo de ensayo se introduce una bacteria que se divide en tres cada minuto ¿Cuánto tiempo pasara hasta que el tubo tenga 80 bacterias?

Como la bacteria se divide en 3 el crecimiento será triplicado, la potencia que lo representa tendrá base 3

Tiempo	0	1	2	3	4
Numero de bacterias	30=1	31=3	32=9	33=27	34=81

MODELO DE CRECIMIENTO EXPONENCIAL EN RELACIÓN

CON  LA DINÁMICA DE LA POBLACIÓN

Como hemos de saber, el tamaño de las poblaciones de seres vivos se  suele Mantener en equilibrio, oscilando más o menos ampliamente en torno a un Valor medio, en función de variables conocidas como la natalidad o la mortalidad, que a su vez dependen, como es de imaginar,  de relaciones más complejas con otras poblaciones de otras especies, variaciones en las condiciones ambientales, etc.  2 El crecimiento de una población, es decir el incremento en el número de individuos que la componen en cada  una de las generaciones, depende como factor importante, de la tasa de natalidad, que es  característica de cada especie y es variable en función de ciertos factores ambientales, y del número de individuos reproductores de que se parte.

Esta tasa de natalidad TN se  expresa en tanto por uno. Según esta aproximación tan simple, en una generación el número inicial de individuos N0se verá incrementado en N0•TN: 

N1 = N0 + N0•TN = N0•(1 + TN)  _ _ _ _ _ _ _  _ _  _  _ _ _ _ _  

Al mismo tiempo, nos damos cuenta que ocurre un hecho  completamente contrario, el cual genera que cierto número de individuos mueran. La proporción de muertes respecto al total es la tasa de mortalidad TM. Luego: 

N1 = N0•(1 + TN - TM)   _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _  

La acción conjunta de TN y TM determinan el incremento real de N0.   La diferencia entre TN y TM es la tasa intrínseca de crecimiento de una población, cuyo valor máximo se denomina como potencial biótico (r), el cual es característico de cada especie: 

r = TN – TM  _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _  _ _   

Teniendo en cuenta ambos factores, tenemos que el número de individuos presentes en la población en la siguiente generación será: 

N1 = N0•(1 + r)  _  _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 

 

 Y en la siguiente generación tendremos: 

N2 = N1 (1 + r) = N0 (1 + r) (1 + r) = N0 (1 + r)2  _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
 

 Y generalizando: 

Nt = N0 (1 + r)t   _ _ ___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

 

Si TN > TM, significa que la natalidad supera a la mortalidad con la cual se está dando, en este caso,  r será mayor que 0 y la población, en consecuencia lógica tiende a crecer. 

En estas condiciones y si no existen limitaciones de otro tipo, la población crece de manera exponencial.

Un ejemplo para tratar de imaginar lo  explicado, es el siguiente el cual muestra este tipo de crecimiento partiendo de N0 = 6 y r = 0,1, o sea una tasa del 10%.  Hay que tener muy en cuenta que este tipo de crecimiento sólo es posible en circunstancias muy específicas.  Por ejemplo cuando una especie coloniza un nuevo espacio y no hay restricciones en los recursos ni competencia por ellos, es decir, se proporcionan demasiadas facilidades que suelen ser e4scasas en un modelo  mas real, tal es el caso de como ocurre en un cultivo bacteriano recién inoculado durante los primeros momentos de su crecimiento. 

Algunas especies siguen este modelo  de crecimiento siguiendo ciclos de explosión demográfica seguidos por elevados índices de mortalidad, por ejemplo al comienzo de la estación  reproductora. Presentan curvas de crecimiento en forma de dientes de sierra

                    

Al potencial biótico, como capacidad de una especie para reproducirse en condiciones ideales, se oponen una serie de factores que, en conjunto, constituyen la resistencia ambiental, la cual establece un límite al crecimiento de las poblaciones.

En especies con un comportamiento como el descrito estos factores suelen ser independientes de  la densidad de población, como variaciones climáticas, en la cantidad de alimento disponible, tiempo de vida, riesgo natural de la especie, entre otras.

La tasa de natalidad es primero muy elevada y luego va siendo menor hasta igualarse a la de mortalidad cuando la población alcanza el límite de carga.

Por encima de éste, la tasa de mortalidad supera la de natalidad e impide que la población continúe creciendo.  Sin embargo, nos encontramos con

4que es frecuente que tras un período de crecimiento rápido este ajuste tarde en ocurrir lo suficiente como para  que la población supere el nivel K de forma momentánea, tras lo cual se produce una elevada mortalidad y por tanto, una visible caída de la población. Y puede, ocurrir en este caso,  que el valor de N oscile en torno a K hasta alcanzar el equilibrio:

 

                               

EJERCICIOS DETALLADOS DE CRECIMIENTO

1.- El número de bacterias en un cultivo aumenta 20% por minuto. Es decir la tasa de crecimiento de la población de bacterias es constante si inicialmente hay 1000 bacterias ¿Cuántas habrá luego de 3 minutos?

Después de un minuto el número de bacterias será 1000 más el 20% de 1000

ENTONCES:

1000 + (20/100)= 1000+200=1200

Habrá 1200 bacterias al cabo de un minuto

1200 + (20/100)= 1200+240=1440

Habrá 1440 bacterias al cabo de dos minuto

1440 + (20/100)= 14400+288=1628

Habrá 1628 bacterias al cabo de tres minuto

Si A es el número de bacterias y r, la tasa de crecimiento por minuto entonces en el primer minuto habrá A + r A  bacterias. En el segundo minuto el número de bacterias será lo que había al término del primer minuto (A+ r A) más el crecimiento correspondiente [r (A+ r A)] entonces:

A+r A +r(A+r A)= A+2Ar +Ar²= A(1+2r+r²)=A(1+r)²es el número de bacterias al final del segundo minuto y  A(1+r)³ al final del tercer minuto.

Para lo cual podemos utilizar la siguiente tabla en n minutos

Tiempo	0	1	2	3	n
# de bacterias	A	A(1+r)	A(1+r)2	A(1+r)3	A(1+r)n

Por lo tanto si queremos saber cuántas bacterias habrá a los 5 minutos será:

A(1+r)⁵ =1000(1+ 20/100)⁵ =1000+(1.2)⁵

                                            =2.488.32

2.- La población de Perú expresada en millones de habitantes crece exponencialmente a razón de 2.5% por año. Si en el 2000 había 105 millones de habitantes.

a) Plantea una fórmula para la población como función del tiempo
b) Utiliza la fórmula para determinar la población en 15 años
c) En qué año la población seria de 125 millones de habitantes?

Si llamamos t al número de años transcurridos desde el año 2000 tenemos lo siguiente:

para t = 0 (año 2000) el número de habitantes (n) es n(0) = 105
Para t = 1 (año 2001) n (1) = 105 +105*0,025 = 105(1+0,025)
Para t = 2; n (2) = 105 (1+0,025) + 105(1+0,025)*0,025 = 105 (1+0,025) (1+0,025) = 105 (1+0,025)²

Esto se puede generalizar:

a) n (t) = 105* (1+0,025)^t = 105 *1,025^t

b) n(15) = 105 * 1,025¹⁵ = 152 071

c) 125 = 105 * 1,025^x, x = 7,06

Enlaces

http://matematica.laguia2000.com/general/crecimientoexponencial#ixzz2GmXsSbM6

http://odas.educarchile.cl/objetos_digitales/odas_matematicas/22_creciendo_exponencialmente/LearningObject/content/io_7.swf?version=0.5